Beispiel Nr: 01
$ \\ \text{Gegeben: Polynom vom Grad n } \\ \text{Gesucht: } \\ \text{Lösung der Gleichung} \\ $
$\textbf{Aufgabe:}$ $x^4-12x^3+54x^2-108x+81=0$
$\textbf{Rechnung:}\\ x^4-12x^3+54x^2-108x+81=0\\\\ x^4-12x^3+54x^2-108x+81\\ \text{Nullstelle für Polynomdivision erraten:}3\\ \small \begin{matrix} ( x^4&-12x^3&+54x^2&-108x&+81&):( x -3 )= x^3 -9x^2 +27x -27 \\ \,-( x^4&-3x^3) \\ \hline &-9x^3&+54x^2&-108x&+81&\\ &-(-9x^3&+27x^2) \\ \hline && 27x^2&-108x&+81&\\ &&-( 27x^2&-81x) \\ \hline &&&-27x&+81&\\ &&&-(-27x&+81) \\ \hline &&&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ x^3-9x^2+27x-27=0\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}3\\ \,\small \begin{matrix} ( x^3&-9x^2&+27x&-27&):( x -3 )= x^2 -6x +9 \\ \,-( x^3&-3x^2) \\ \hline &-6x^2&+27x&-27&\\ &-(-6x^2&+18x) \\ \hline && 9x&-27&\\ &&-( 9x&-27) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 1x^{2}-6x+9 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+6 \pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot 9}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+6 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{6 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{6 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{6 -0}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=3; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\$