Beispiel Nr: 36
$ \text{Gegeben:} ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Lösung der Gleichung} \\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ -13\frac{1}{2}x^3-67\frac{1}{2}x^2-108x-54 =0\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\\-13\frac{1}{2}x^3-67\frac{1}{2}x^2-108x-54=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-13\frac{1}{2}x^3&-67\frac{1}{2}x^2&-108x&-54&):( x +1 )=-13\frac{1}{2}x^2 -54x -54 \\ \,-(-13\frac{1}{2}x^3&-13\frac{1}{2}x^2) \\ \hline &-54x^2&-108x&-54&\\ &-(-54x^2&-54x) \\ \hline &&-54x&-54&\\ &&-(-54x&-54) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -13\frac{1}{2}x^{2}-54x-54 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+54 \pm\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\cdot \left(-13\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-54\right)}}{2\cdot\left(-13\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+54 \pm\sqrt{0}}{-27} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{54 \pm0}{-27} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{54 +0}{-27} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{54 -0}{-27} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\$