Beispiel Nr: 12
$ \text{Gegeben:} \\ a1 \cdot x + b1\cdot y + c1\cdot z=d1\\ a2\cdot x + b2\cdot y + c2\cdot z=d2\\ a3\cdot x + b3\cdot y + c3\cdot z=d3\\ \\ \text{Gesucht:} \\\text{x,y,z} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ 2 x +3 + 4 z=175\\ 4 x +6 y + 5 z=287\\ 3 x +2 y + 8 z=257\\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\small \begin{array}{l} 2x+3y+4z=175 \\ 4x+6y+5z=287 \\ 3x+2y+8z=257 \\ \\ \end{array} \qquad \small \begin{array}{ccc|cc } x & y & z & & \\ \hline2 & 3 & 4 & 175 \\ 4 & 6 & 5 & 287 \\ 3 & 2 & 8 & 257 \\ \end{array} \\ \\ \begin{array}{l}\text{Zeile}2=\text{Zeile}2\cdot 2\text{-Zeile}1\cdot 4 \\z2s1=4\cdot 2-2\cdot 4 =0 \\ z2s2=6\cdot 2-3\cdot 4 =0 \\ z2s3=5\cdot 2-4\cdot 4 =-6 \\ z2s4=287\cdot 2-175\cdot 4 =-126 \\ \end{array}\qquad \small \begin{array}{ccc|cc } x & y & z & & \\ \hline2 & 3 & 4 & 175 \\ 0 & 0 & -6 & -126 \\ 3 & 2 & 8 & 257 \\ \end{array} \\ \\ \begin{array}{l}\text{Zeile}3=\text{Zeile}3\cdot 2\text{-Zeile}1\cdot 3 \\z3s1=3\cdot 2-2\cdot 3 =0 \\ z3s2=2\cdot 2-3\cdot 3 =-5 \\ z3s3=8\cdot 2-4\cdot 3 =4 \\ z3s4=257\cdot 2-175\cdot 3 =-11 \\ \end{array}\qquad \small \begin{array}{ccc|cc } x & y & z & & \\ \hline2 & 3 & 4 & 175 \\ 0 & 0 & -6 & -126 \\ 0 & -5 & 4 & -11 \\ \end{array} \\ \\ \small \begin{array}{l}\text{Zeilen vertauschen } \\ \end{array}\qquad \small \begin{array}{ccc|cc } x & y & z & & \\ \hline2 & 3 & 4 & 175 \\ 0 & -5 & 4 & -11 \\ 0 & 0 & -6 & -126 \\ \end{array} \\ \\ z=\frac{-126}{-6}=21\\y \cdot (-5)+4\cdot21=(-11)\\y= 19\\x\cdot 2+3\cdot19+4\cdot21=175\\x= 17\\L=\{17/19/21\}$