Beispiel Nr: 23
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 1}{ x^3+3x^2+3x+1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 1}{ x^3+3x^2+3x+1} \\ \text{Nenner faktorisieren:} \\ x^3+3x^2+3x+1 = 0 \\ \\ x^3+3x^2+3x+1=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} ( x^3&+3x^2&+3x&+1&):( x +1 )= x^2 +2x +1 \\ \,-( x^3&+x^2) \\ \hline & 2x^2&+3x&+1&\\ &-( 2x^2&+2x) \\ \hline && x&+1&\\ &&-( x&+1) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 1x^{2}+2x+1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -0}{2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{ 1}{(x+1)^3} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 1}{ x^3+3x^2+3x+1} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{0\cdot( x^3+3x^2+3x+1)- 1\cdot( 3x^2+6x+3)}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{0-( 3x^2+6x+3)}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{-3x^2-6x-3}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{-3x^2-6x-3}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{(-6x-6)\cdot( x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1)-(-3x^2-6x-3)\cdot( 6x^5+30x^4+60x^3+60x^2+30x+6)}{( x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1)^2}\\ = \frac{(-6x^7-42x^6-126x^5-210x^4-210x^3-126x^2-42x-6)-(-18x^7-126x^6-378x^5-630x^4-630x^3-378x^2-126x-18)}{( x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1)^2}\\ = \frac{ 12x^7+84x^6+252x^5+420x^4+420x^3+252x^2+84x+12}{( x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1)^2}\\ = \frac{ 12x^7+84x^6+252x^5+420x^4+420x^3+252x^2+84x+12}{( x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 1 = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{1}{x^3( 1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}) }}=0 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=0 \\\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}{\displaystyle\frac{ 1}{(x+1)^3}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -1^-}{\displaystyle\frac{ 1}{(x+1)^3}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-1\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-3x^2-6x-3}{ x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1} = 0 \\ \\ \\ -3x^{2}-6x-3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+6 \pm\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\cdot \left(-3\right) \cdot \left(-3\right)}}{2\cdot\left(-3\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+6 \pm\sqrt{0}}{-6} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{6 \pm0}{-6} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{6 +0}{-6} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{6 -0}{-6} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_2=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-3x^2-6x-3}{ x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_3=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=-1; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 12x^7+84x^6+252x^5+420x^4+420x^3+252x^2+84x+12}{ x^12+12x^11+66x^10+220x^9+495x^8+792x^7+924x^6+792x^5+495x^4+220x^3+66x^2+12x+1}\\ \,Zaehler =0 \\\\\\ Numerische Suche: \\ \text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_5=-1; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*