Beispiel Nr: 38
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 5x^2-2x+1}{ x^2+2x+1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 5x^2-2x+1}{ x^2+2x+1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 5x^2-2x+1 = 0 \\ \\ 5x^{2}-2x+1 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4 \cdot 5 \cdot 1}}{2\cdot5}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{-16}}{10}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x^2+2x+1 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}+2x+1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -0}{2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{5(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5})}{(x+1)^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 5x^2-2x+1}{ x^2+2x+1} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( 5x^2&-2x&+1&):( x^2 +2x +1 )= 5 \\ \,-( 5x^2&+10x&+5) \\ \hline &-12x&-4&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= 5+\frac{-12x-4}{ x^2+2x+1} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( 10x-2)\cdot( x^2+2x+1)-( 5x^2-2x+1)\cdot( 2x+2)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{( 10x^3+18x^2+6x-2)-( 10x^3+6x^2-2x+2)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{12x^2+8x-4}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{12x^2+8x-4}{( x^2+2x+1)^2} \\ =\displaystyle\frac{12(x+1)(x-\frac{1}{3})}{(x+1)^4} \\ =\displaystyle\frac{12(x-\frac{1}{3})}{(x+1)^3} \\ =\displaystyle \frac{ 12x-4}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ f''\left(x\right)=\frac{ 12\cdot( x^3+3x^2+3x+1)-( 12x-4)\cdot( 3x^2+6x+3)}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{( 12x^3+36x^2+36x+12)-( 36x^3+60x^2+12x-12)}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{-24x^3-24x^2+24x+24}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{-24x^3-24x^2+24x+24}{( x^3+3x^2+3x+1)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 5x^2-2x+1 = 0 \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x\\ \hline f(x)&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 5-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}) }{x^2( 1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}) }}=\frac{5}{1}=5 \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=5 \\\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}{\displaystyle\frac{5(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5})}{(x+1)^2}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -1^-}{\displaystyle\frac{5(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5})}{(x+1)^2}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-1\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 12x-4}{ x^3+3x^2+3x+1} = 0 \\ \\ 12 x-4 =0 \qquad /+4 \\ 12 x= 4 \qquad /:12 \\ x=\displaystyle\frac{4}{12}\\ x=\frac{1}{3} \\ \underline{x_2=\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(\frac{1}{3})=5\frac{1}{16}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (\frac{1}{3}/\frac{1}{2})} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 12x-4}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_3=\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_4=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&\frac{1}{3}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]\frac{1}{3};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\frac{1}{3}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-24x^3-24x^2+24x+24}{ x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1}\\ \,Zaehler =0 \\\\-24x^3-24x^2+24x+24=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}1\\ \,\small \begin{matrix} (-24x^3&-24x^2&+24x&+24&):( x -1 )=-24x^2 -48x -24 \\ \,-(-24x^3&+24x^2) \\ \hline &-48x^2&+24x&+24&\\ &-(-48x^2&+48x) \\ \hline &&-24x&+24&\\ &&-(-24x&+24) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -24x^{2}-48x-24 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+48 \pm\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\cdot \left(-24\right) \cdot \left(-24\right)}}{2\cdot\left(-24\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+48 \pm\sqrt{0}}{-48} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{48 \pm0}{-48} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{48 +0}{-48} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{48 -0}{-48} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_5=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_6=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_7=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;1[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*