Beispiel Nr: 47
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 3x^3-10x^2+7x-12}{ x-3} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 3x^3-10x^2+7x-12}{ x-3} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ 3x^3-10x^2+7x-12 = 0 \\ \\ 3x^3-10x^2+7x-12=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}3\\ \,\small \begin{matrix} ( 3x^3&-10x^2&+7x&-12&):( x -3 )= 3x^2 -1x +4 \\ \,-( 3x^3&-9x^2) \\ \hline &-1x^2&+7x&-12&\\ &-(-1x^2&+3x) \\ \hline && 4x&-12&\\ &&-( 4x&-12) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ 3x^{2}-1x+4 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4 \cdot 3 \cdot 4}}{2\cdot3}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{-47}}{6}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \underline{x_1=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x-3 = 0 \\ \\ x-3 =0 \qquad /+3 \\ x=3 \\ \underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{3(x^2-\frac{1}{3}x+1\frac{1}{3})(x-3)}{(x-3)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{3\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{3(x^2-\frac{1}{3}x+1\frac{1}{3})}{ 1}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= 3x^2-1x+4\\ f'\left(x\right)= 6x-1\\ f''\left(x\right)= 6\\ F(x)=\int_{}^{}( 3x^2-1x+4)dx= x^3-\frac{1}{2}x^2+4x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [3\frac{11}{12},\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 3-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[3\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[3\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=3\cdot (-x)^{2}-1\cdot (-x)+4 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= 3x^2-1x+4 = 0 \\ \\ 3x^{2}-1x+4 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4 \cdot 3 \cdot 4}}{2\cdot3}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{-47}}{6}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 6x-1 = 0 \\ \\ 6 x-1 =0 \qquad /+1 \\ 6 x= 1 \qquad /:6 \\ x=\displaystyle\frac{1}{6}\\ x=\frac{1}{6} \\ \underline{x_1=\frac{1}{6}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(\frac{1}{6})=6>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (\frac{1}{6}/3\frac{11}{12})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{1}{6}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{1}{6};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{6}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*