Beispiel Nr: 48
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^3-1\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x+2}{ x-2} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^3-1\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x+2}{ x-2} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ \frac{1}{3}x^3-1\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x+2 = 0 \\ \\ \frac{1}{3}x^3-1\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x+2=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x-2 = 0 \\ \\ x-2 =0 \qquad /+2 \\ x=2 \\ \underline{x_4=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{\frac{1}{3}(x+1)(x-2)(x-3)}{(x-2)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{\frac{1}{3}(x+1)(x-3)}{ 1}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-1=\frac{1}{3}(x+1)(x-3)\\ f'\left(x\right)= \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\\ f''\left(x\right)= \frac{2}{3}\\ F(x)=\int_{}^{}( \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-1)dx= \frac{1}{9}x^3-\frac{1}{3}x^2-1x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-1\frac{1}{3}),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( \frac{1}{3}-\dfrac{\frac{2}{3}}{x}-\dfrac{1}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{3}\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[\frac{1}{3}\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=\frac{1}{3}\cdot (-x)^{2}-\frac{2}{3}\cdot (-x)-1 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-1 = 0 \\ \\ \\ \frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x-1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+\frac{2}{3} \pm\sqrt{\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}-4\cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-1\right)}}{2\cdot\frac{1}{3}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+\frac{2}{3} \pm\sqrt{1\frac{7}{9}}}{\frac{2}{3}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{\frac{2}{3} \pm1\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{\frac{2}{3} +1\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{\frac{2}{3} -1\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= \frac{2}{3}x-\frac{2}{3} = 0 \\ \\ \frac{2}{3} x-\frac{2}{3} =0 \qquad /+\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} x= \frac{2}{3} \qquad /:\frac{2}{3} \\ x=\displaystyle\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}\\ x=1 \\ \underline{x_3=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(1)=\frac{2}{3}>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (1/-1\frac{1}{3})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &1&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]1;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;1[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-1}^{3}\left( \frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-1\right)dx=\left[ \frac{1}{9}x^3-\frac{1}{3}x^2-1x\right]_{-1}^{3} \\ =\left(\frac{1}{9}\cdot 3^{3}-\frac{1}{3}\cdot 3^{2}-1\cdot 3\right)-\left(\frac{1}{9}\cdot (-1)^{3}-\frac{1}{3}\cdot (-1)^{2}-1\cdot (-1)\right) \\ =\left(-3\right)-\left(\frac{5}{9}\right)=-3\frac{5}{9} \\ \\ $\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*