Beispiel Nr: 63
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3-2x^2-5x+6}{ x-1} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^3-2x^2-5x+6}{ x-1} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^3-2x^2-5x+6 = 0 \\ \\ x^3-2x^2-5x+6=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}1\\ \,\small \begin{matrix} ( x^3&-2x^2&-5x&+6&):( x -1 )= x^2 -1x -6 \\ \,-( x^3&-1x^2) \\ \hline &-1x^2&-5x&+6&\\ &-(-1x^2&+x) \\ \hline &&-6x&+6&\\ &&-(-6x&+6) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 1x^{2}-1x-6 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-6\right)}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{25}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm5}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1 +5}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1 -5}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ x-1 = 0 \\ \\ x-1 =0 \qquad /+1 \\ x=1 \\ \underline{x_4=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+2)(x-1)(x-3)}{(x-1)} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{(x+2)(x-3)}{ 1}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)= x^2-1x-6=(x+2)(x-3)\\ f'\left(x\right)= 2x-1\\ f''\left(x\right)= 2\\ F(x)=\int_{}^{}( x^2-1x-6)dx= \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-6\frac{1}{4}),\infty[ \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2( 1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{6}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot \infty^2]=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[1\cdot (-\infty)^2]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=1\cdot (-x)^{2}-1\cdot (-x)-6 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)= x^2-1x-6 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}-1x-6 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-6\right)}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{25}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm5}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1 +5}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1 -5}{2} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=-2 \\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;3[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)= 2x-1 = 0 \\ \\ 2 x-1 =0 \qquad /+1 \\ 2 x= 1 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{2} \\ \underline{x_3=\frac{1}{2}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(\frac{1}{2})=2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (\frac{1}{2}/-6\frac{1}{4})} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &\frac{1}{2}&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]\frac{1}{2};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;\frac{1}{2}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-2}^{3}\left( x^2-1x-6\right)dx=\left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x\right]_{-2}^{3} \\ =\left(\frac{1}{3}\cdot 3^{3}-\frac{1}{2}\cdot 3^{2}-6\cdot 3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot (-2)^{3}-\frac{1}{2}\cdot (-2)^{2}-6\cdot (-2)\right) \\ =\left(-13\frac{1}{2}\right)-\left(7\frac{1}{3}\right)=-20\frac{5}{6} \\ \\ $\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*