Beispiel Nr: 27
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-6x^4+72x^3-324x^2+648x-486 \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-6x^4+72x^3-324x^2+648x-486\\ f'\left(x\right)=-24x^3+216x^2-648x+648\\ f''\left(x\right)=-72x^2+432x-648\\ f'''\left(x\right)=-144x+432 \\ F(x)=\int_{}^{}(-6x^4+72x^3-324x^2+648x-486)dx=-1\frac{1}{5}x^5+18x^4-108x^3+324x^2-486x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,0] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^4(-6+\dfrac{72}{x}-\dfrac{324}{x^2}+\dfrac{648}{x^3}-\dfrac{486}{x^4}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-6\cdot \infty^4]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-6\cdot (-\infty)^4]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-6\cdot (-x)^{4}+72\cdot (-x)^{3}-324\cdot (-x)^{2}+648\cdot (-x)-486 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-6x^4+72x^3-324x^2+648x-486 = 0 \\ \\-6x^4+72x^3-324x^2+648x-486\\ \text{Nullstelle für Polynomdivision erraten:}3\\ \small \begin{matrix} (-6x^4&+72x^3&-324x^2&+648x&-486&):( x -3 )=-6x^3 +54x^2 -162x +162 \\ \,-(-6x^4&+18x^3) \\ \hline & 54x^3&-324x^2&+648x&-486&\\ &-( 54x^3&-162x^2) \\ \hline &&-162x^2&+648x&-486&\\ &&-(-162x^2&+486x) \\ \hline &&& 162x&-486&\\ &&&-( 162x&-486) \\ \hline &&&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ -6x^3+54x^2-162x+162=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}3\\ \,\small \begin{matrix} (-6x^3&+54x^2&-162x&+162&):( x -3 )=-6x^2 +36x -54 \\ \,-(-6x^3&+18x^2) \\ \hline & 36x^2&-162x&+162&\\ &-( 36x^2&-108x) \\ \hline &&-54x&+162&\\ &&-(-54x&+162) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -6x^{2}+36x-54 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-36 \pm\sqrt{36^{2}-4\cdot \left(-6\right) \cdot \left(-54\right)}}{2\cdot\left(-6\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-36 \pm\sqrt{0}}{-12} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-36 \pm0}{-12} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-36 +0}{-12} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-36 -0}{-12} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_1=3; \quad4\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &3&< x\\ \hline f(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-24x^3+216x^2-648x+648 = 0 \\ \\-24x^3+216x^2-648x+648=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}3\\ \,\small \begin{matrix} (-24x^3&+216x^2&-648x&+648&):( x -3 )=-24x^2 +144x -216 \\ \,-(-24x^3&+72x^2) \\ \hline & 144x^2&-648x&+648&\\ &-( 144x^2&-432x) \\ \hline &&-216x&+648&\\ &&-(-216x&+648) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -24x^{2}+144x-216 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-144 \pm\sqrt{144^{2}-4\cdot \left(-24\right) \cdot \left(-216\right)}}{2\cdot\left(-24\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-144 \pm\sqrt{0}}{-48} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-144 \pm0}{-48} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-144 +0}{-48} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-144 -0}{-48} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_2=3; \quad3\text{-fache Nullstelle}} \\f''(3)=0 \\ f''(3)=0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Extremwert:} (3/0}) \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &3&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;3[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]3;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-72x^2+432x-648 = 0 \\ \\ \\ -72x^{2}+432x-648 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-432 \pm\sqrt{432^{2}-4\cdot \left(-72\right) \cdot \left(-648\right)}}{2\cdot\left(-72\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-432 \pm\sqrt{0}}{-144} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-432 \pm0}{-144} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-432 +0}{-144} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-432 -0}{-144} \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=3 \\ \underline{x_3=3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &3&< x\\ \hline f''(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\\text{keine Fläche} \\ \\ $