Beispiel Nr: 33
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Stammfunktion} \\ \text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} $
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=-\frac{27}{56}x^3-\frac{27}{28}x^2+2\frac{23}{56}x+2\frac{25}{28} \ $
$\bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{27}{56}x^3-\frac{27}{28}x^2+2\frac{23}{56}x+2\frac{25}{28}=-\frac{27}{56}(x+3)(x+1)(x-2)\\ f'\left(x\right)=-1\frac{25}{56}x^2-1\frac{13}{14}x+2\frac{23}{56}=-1\frac{25}{56}(x+2,12)(x-0,786)\\ f''\left(x\right)=-2\frac{25}{28}x-1\frac{13}{14}=-2\frac{25}{28}(x+\frac{2}{3})\\ f'''\left(x\right)=-2\frac{25}{28} \\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{27}{56}x^3-\frac{27}{28}x^2+2\frac{23}{56}x+2\frac{25}{28})dx=-0,121x^4-\frac{9}{28}x^3+1,21x^2+2\frac{25}{28}x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = \mathbb{R} \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^3(-\frac{27}{56}-\dfrac{\frac{27}{28}}{x}+\dfrac{2\frac{23}{56}}{x^2}+\dfrac{2\frac{25}{28}}{x^3}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{27}{56}\cdot \infty^3]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{27}{56}\cdot (-\infty)^3]=\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{27}{56}\cdot (-x)^{3}-\frac{27}{28}\cdot (-x)^{2}+2\frac{23}{56}\cdot (-x)+2\frac{25}{28} \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{27}{56}x^3-\frac{27}{28}x^2+2\frac{23}{56}x+2\frac{25}{28} = 0 \\ \\-\frac{27}{56}x^3-\frac{27}{28}x^2+2\frac{23}{56}x+2\frac{25}{28}=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&-1&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-1;2[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;-1[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-1\frac{25}{56}x^2-1\frac{13}{14}x+2\frac{23}{56} = 0 \\ \\ \\ -1\frac{25}{56}x^{2}-1\frac{13}{14}x+2\frac{23}{56} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1\frac{13}{14} \pm\sqrt{\left(-1\frac{13}{14}\right)^{2}-4\cdot \left(-1\frac{25}{56}\right) \cdot 2\frac{23}{56}}}{2\cdot\left(-1\frac{25}{56}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1\frac{13}{14} \pm\sqrt{17,7}}{-2\frac{25}{28}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1\frac{13}{14} \pm4,2}{-2\frac{25}{28}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1\frac{13}{14} +4,2}{-2\frac{25}{28}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1\frac{13}{14} -4,2}{-2\frac{25}{28}} \\ x_{1}=-2,12 \qquad x_{2}=0,786 \\ \underline{x_4=-2,12; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=0,786; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-2,12)=4,2>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-2,12/-1,96)} \\ f''(0,786)=-4,2 \\ f''(0,786)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (0,786/3,96)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,12&< x <&0,786&< x\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,12;0,786[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,12[\quad \cup \quad]0,786;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\\bullet\text{Wendepunkte:} \\f''(x)=-2\frac{25}{28}x-1\frac{13}{14} = 0 \\ \\ -2\frac{25}{28} x-1\frac{13}{14} =0 \qquad /+1\frac{13}{14} \\ -2\frac{25}{28} x= 1\frac{13}{14} \qquad /:\left(-2\frac{25}{28}\right) \\ x=\displaystyle\frac{1\frac{13}{14}}{-2\frac{25}{28}}\\ x=-\frac{2}{3} \\ \underline{x_6=-\frac{2}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f'''(-\frac{2}{3})=1\\ f'''(-\frac{2}{3}) \neq 0 \Rightarrow \\ \underline{\text{Wendepunkt:} (-\frac{2}{3}/1)}\\ \bullet\text{Kruemmung} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-\frac{2}{3}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-\frac{2}{3}[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\frac{2}{3};\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-3}^{-1}\left(-\frac{27}{56}x^3-\frac{27}{28}x^2+2\frac{23}{56}x+2\frac{25}{28}\right)dx=\left[-0,121x^4-\frac{9}{28}x^3+1,21x^2+2\frac{25}{28}x\right]_{-3}^{-1} \\ =\left(-0,121\cdot (-1)^{4}-\frac{9}{28}\cdot (-1)^{3}+1,21\cdot (-1)^{2}+2\frac{25}{28}\cdot (-1)\right)-\left(-0,121\cdot (-3)^{4}-\frac{9}{28}\cdot (-3)^{3}+1,21\cdot (-3)^{2}+2\frac{25}{28}\cdot (-3)\right) \\ =\left(-1,49\right)-\left(1,08\right)=-2\frac{4}{7} \\ A=\int_{-1}^{2}\left(-\frac{27}{56}x^3-\frac{27}{28}x^2+2\frac{23}{56}x+2\frac{25}{28}\right)dx=\left[-0,121x^4-\frac{9}{28}x^3+1,21x^2+2\frac{25}{28}x\right]_{-1}^{2} \\ =\left(-0,121\cdot 2^{4}-\frac{9}{28}\cdot 2^{3}+1,21\cdot 2^{2}+2\frac{25}{28}\cdot 2\right)-\left(-0,121\cdot (-1)^{4}-\frac{9}{28}\cdot (-1)^{3}+1,21\cdot (-1)^{2}+2\frac{25}{28}\cdot (-1)\right) \\ =\left(6\frac{3}{28}\right)-\left(-1,49\right)=7\frac{19}{32} \\ \\ $