$\begin{array}{l} \text{Gegeben:} \\ \text{Ebene: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} c1 \\ c2 \\ c3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Ebene in Koordinatenform: } n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3+k=0 \\ \\ \text{Vektorprodukt}\\ \textbf{Gegeben:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)+ \sigma \left( \begin{array}{c} -4 \\ 5 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} -4 \\ 5 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -4 \\ 5 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\= \left( \begin{array}{c} 1 \cdot\left(-2\right)-0\cdot5 \\ 0\cdot\left(-4\right)-\left(-2\right)\cdot0 \\ 0\cdot5-1\cdot\left(-4\right) \\ \end{array} \right) \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. } \\ -2 x_1+0 x_2+4 x_3+k=0 \\ \text{Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. } \\ -2 \cdot 2 +0 \cdot -1+4 \cdot -3 +k=0 \\ k=16 \\ \text{Koordinatenform} \\ -2 x_1+0 x_2+4 x_3+16=0 \\ \\ -2 x_1 +4 x_3 +16 = 0 \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ -2 x_1+0 x_2+4 x_3+16=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{\left(-2\right)^2+0^2+4^2} \\ \left|\vec{n}\right| =4,47 \\ \text{HNF:} \dfrac{-2 x_1+0 x_2+4 x_3+16}{-4,47}=0 \\ \\ \end{array}$