$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{5}x+\frac{1}{8}}{-\frac{1}{2}x^2-1x-\frac{1}{2}} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{5}x+\frac{1}{8}}{-\frac{1}{2}x^2-1x-\frac{1}{2}} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{5}x+\frac{1}{8} = 0 \\ \\ \\ -\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{8} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-\frac{2}{5} \pm\sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{8}}}{2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{2}{5} \pm\sqrt{0,327}}{-\frac{2}{3}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-\frac{2}{5} \pm0,572}{-\frac{2}{3}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-\frac{2}{5} +0,572}{-\frac{2}{3}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-\frac{2}{5} -0,572}{-\frac{2}{3}} \\ x_{1}=-0,257 \qquad x_{2}=1,46 \\ \underline{x_1=-0,257; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\-\frac{1}{2}x^2-1x-\frac{1}{2} = 0 \\ \\ \\ -\frac{1}{2}x^{2}-1x-\frac{1}{2} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{0}}{-1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1 \pm0}{-1} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{1 +0}{-1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{1 -0}{-1} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_3=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-\frac{1}{3}(x+0,257)(x-1,46)}{-\frac{1}{2}(x+1)^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ \frac{2}{3}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{1}{4}}{ x^2+2x+1} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( \frac{2}{3}x^2&-\frac{4}{5}x&-\frac{1}{4}&):( x^2 +2x +1 )= \frac{2}{3} \\ \,-( \frac{2}{3}x^2&+1\frac{1}{3}x&+\frac{2}{3}) \\ \hline &-2\frac{2}{15}x&-\frac{11}{12}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= \frac{2}{3}+\frac{-2\frac{2}{15}x-\frac{11}{12}}{ x^2+2x+1} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( 1\frac{1}{3}x-\frac{4}{5})\cdot( x^2+2x+1)-( \frac{2}{3}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{1}{4})\cdot( 2x+2)}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{( 1\frac{1}{3}x^3+1\frac{13}{15}x^2-\frac{4}{15}x-\frac{4}{5})-( 1\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{15}x^2-2\frac{1}{10}x-\frac{1}{2})}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{2\frac{2}{15}x^2+1\frac{5}{6}x-\frac{3}{10}}{( x^2+2x+1)^2}\\ = \frac{2\frac{2}{15}x^2+1\frac{5}{6}x-\frac{3}{10}}{( x^2+2x+1)^2} \\ =\displaystyle\frac{2\frac{2}{15}(x+1)(x-\frac{9}{64})}{(x+1)^4} \\ =\displaystyle\frac{2\frac{2}{15}(x-\frac{9}{64})}{(x+1)^3} \\ =\displaystyle \frac{ 2\frac{2}{15}x-\frac{3}{10}}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ f''\left(x\right)=\frac{ 2\frac{2}{15}\cdot( x^3+3x^2+3x+1)-( 2\frac{2}{15}x-\frac{3}{10})\cdot( 3x^2+6x+3)}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{( 2\frac{2}{15}x^3+6\frac{2}{5}x^2+6\frac{2}{5}x+2\frac{2}{15})-( 6\frac{2}{5}x^3+11\frac{9}{10}x^2+4\frac{3}{5}x-\frac{9}{10})}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{-4\frac{4}{15}x^3-5\frac{1}{2}x^2+1\frac{4}{5}x+3\frac{1}{30}}{( x^3+3x^2+3x+1)^2}\\ = \frac{-4\frac{4}{15}x^3-5\frac{1}{2}x^2+1\frac{4}{5}x+3\frac{1}{30}}{( x^3+3x^2+3x+1)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ \frac{2}{3}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{1}{4} = 0 \\ \underline{x_4=-0,257; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=1,46; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&-0,257&< x <&1,46&< x\\ \hline f(x)&+&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;-0,257[\quad \cup \quad]1,46;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,257;1,46[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x^2(-\frac{1}{3}+\dfrac{\frac{2}{5}}{x}+\dfrac{\frac{1}{8}}{x^2}) }{x^2(-\frac{1}{2}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{\frac{1}{2}}{x^2}) }}=\frac{0,666666666666667}{1}=\frac{2}{3} \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=\frac{2}{3} \\\lim\limits_{x \rightarrow -1^+}{\displaystyle\frac{\frac{2}{3}(x+0,257)(x-1,46)}{(x+1)^2}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -1^-}{\displaystyle\frac{\frac{2}{3}(x+0,257)(x-1,46)}{(x+1)^2}}=\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-1\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 2\frac{2}{15}x-\frac{3}{10}}{ x^3+3x^2+3x+1} = 0 \\ \\ 2\frac{2}{15} x-\frac{3}{10} =0 \qquad /+\frac{3}{10} \\ 2\frac{2}{15} x= \frac{3}{10} \qquad /:2\frac{2}{15} \\ x=\displaystyle\frac{\frac{3}{10}}{2\frac{2}{15}}\\ x=\frac{9}{64} \\ \underline{x_6=\frac{9}{64}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(\frac{9}{64})=1,44>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (\frac{9}{64}/-0,268)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2\frac{2}{15}x-\frac{3}{10}}{ x^3+3x^2+3x+1}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_7=\frac{9}{64}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_8=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&\frac{9}{64}&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]\frac{9}{64};\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;\frac{9}{64}[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{-4\frac{4}{15}x^3-5\frac{1}{2}x^2+1\frac{4}{5}x+3\frac{1}{30}}{ x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1}\\ \,Zaehler =0 \\\\-4\frac{4}{15}x^3-5\frac{1}{2}x^2+1\frac{4}{5}x+3\frac{1}{30}=0 \\\\ Numerische Suche: \\ \underline{x_9=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_10=0,711; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_11=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&-1&< x <&0,711&< x\\ \hline f''(x)&+&0&+&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]-1;-1[\quad \cup \quad]-1;0,711[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0,711;\infty[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$