Beispiel Nr: 41
$\text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung}$
$\text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x^3+3x^2-4}{-\frac{1}{2}x^2-3x-4\frac{1}{2}} \ $
$\bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{-1x^3+3x^2-4}{-\frac{1}{2}x^2-3x-4\frac{1}{2}} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\-1x^3+3x^2-4 = 0 \\ \\-1x^3+3x^2-4=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-1\\ \,\small \begin{matrix} (-1x^3&+3x^2&&-4&):( x +1 )=-1x^2 +4x -4 \\ \,-(-1x^3&-1x^2) \\ \hline & 4x^2&&-4&\\ &-( 4x^2&+4x) \\ \hline &&-4x&-4&\\ &&-(-4x&-4) \\ \hline &&&0\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ -1x^{2}+4x-4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot \left(-4\right)}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{0}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm0}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +0}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -0}{-2} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=2 \\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\-\frac{1}{2}x^2-3x-4\frac{1}{2} = 0 \\ \\ \\ -\frac{1}{2}x^{2}-3x-4\frac{1}{2} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+3 \pm\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-4\frac{1}{2}\right)}}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+3 \pm\sqrt{0}}{-1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{3 \pm0}{-1} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{3 +0}{-1} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{3 -0}{-1} \\ x_{1}=-3 \qquad x_{2}=-3 \\ \underline{x_3=-3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{-1(x+1)(x-2)^2}{-\frac{1}{2}(x+3)^2} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-3\right\} \\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ 2x^3-6x^2+8}{ x^2+6x+9} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( 2x^3&-6x^2&&+8&):( x^2 +6x +9 )= 2x -18 \\ \,-( 2x^3&+12x^2&+18x) \\ \hline &-18x^2&-18x&+8&\\ &-(-18x^2&-108x&-162) \\ \hline && 90x&+170&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= 2x-18+\frac{ 90x+170}{ x^2+6x+9} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{( 6x^2-12x)\cdot( x^2+6x+9)-( 2x^3-6x^2+8)\cdot( 2x+6)}{( x^2+6x+9)^2}\\ = \frac{( 6x^4+24x^3-18x^2-108x)-( 4x^4-36x^2+16x+48)}{( x^2+6x+9)^2}\\ = \frac{ 2x^4+24x^3+18x^2-124x-48}{( x^2+6x+9)^2}\\ = \frac{ 2x^4+24x^3+18x^2-124x-48}{( x^2+6x+9)^2} \\ =\displaystyle\frac{2(x+10,6)(x+3)(x+0,377)(x-2)}{(x+3)^4} \\ =\displaystyle\frac{2(x+10,6)(x+0,377)(x-2)}{(x+3)^3} \\ =\displaystyle \frac{ 2x^3+18x^2-36x-16}{ x^3+9x^2+27x+27}\\ f''\left(x\right)=\frac{( 6x^2+36x-36)\cdot( x^3+9x^2+27x+27)-( 2x^3+18x^2-36x-16)\cdot( 3x^2+18x+27)}{( x^3+9x^2+27x+27)^2}\\ = \frac{( 6x^5+90x^4+450x^3+810x^2-972)-( 6x^5+90x^4+270x^3-210x^2-1,26\cdot 10^{3}x-432)}{( x^3+9x^2+27x+27)^2}\\ = \frac{180x^3+1,02\cdot 10^{3}x^2+1,26\cdot 10^{3}x-540}{( x^3+9x^2+27x+27)^2}\\ = \frac{180x^3+1,02\cdot 10^{3}x^2+1,26\cdot 10^{3}x-540}{( x^3+9x^2+27x+27)^2} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ 2x^3-6x^2+8 = 0 \\ \underline{x_4=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_5=2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&-1&< x <&2&< x\\ \hline f(x)&-&0&-&0&+&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]-3;-1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{x^3(-1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}) }{x^2(-\frac{1}{2}-\dfrac{3}{x}-\dfrac{4\frac{1}{2}}{x^2}) }}=\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{\displaystyle \frac{x^3(-1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}) }{x^2(-\frac{1}{2}-\dfrac{3}{x}-\dfrac{4\frac{1}{2}}{x^2}) }}=\infty \\ \\ \text{Schiefe Asymptote:} y= 2x-18 \\\lim\limits_{x \rightarrow -3^+}{\displaystyle\frac{2(x+1)(x-2)^2}{(x+3)^2}}=-\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow -3^-}{\displaystyle\frac{2(x+1)(x-2)^2}{(x+3)^2}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=-3\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{ 2x^3+18x^2-36x-16}{ x^3+9x^2+27x+27} = 0 \\ \\ 2x^3+18x^2-36x-16=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}2\\ \,\small \begin{matrix} ( 2x^3&+18x^2&-36x&-16&):( x -2 )= 2x^2 +22x +8 \\ \,-( 2x^3&-4x^2) \\ \hline & 22x^2&-36x&-16&\\ &-( 22x^2&-44x) \\ \hline && 8x&-16&\\ &&-( 8x&-16) \\ \hline &&&-0&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 2x^{2}+22x+8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-22 \pm\sqrt{22^{2}-4\cdot 2 \cdot 8}}{2\cdot2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-22 \pm\sqrt{420}}{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-22 \pm20,5}{4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-22 +20,5}{4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-22 -20,5}{4} \\ x_{1}=-0,377 \qquad x_{2}=-10,6 \\ \underline{x_6=-10,6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_7=-0,377; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_8=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-10,6)=0,515>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (-10,6/-52,8)} \\ f''(-0,377)=-2,67 \\ f''(-0,377)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-0,377/1,02)} \\ f''(2)=0,388>0 \Rightarrow \underline{\text{Tiefpunkt:} (2/0)} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 2x^3+18x^2-36x-16}{ x^3+9x^2+27x+27}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\underline{x_9=-10,6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_10=-0,377; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_11=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_12=-3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-10,6&< x <&-3&< x <&-0,377&< x <&2&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-10,6[\quad \cup \quad]-3;-0,377[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-10,6;-3[\quad \cup \quad]-0,377;2[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 180x^3+1,02\cdot 10^{3}x^2+1,26\cdot 10^{3}x-540}{ x^6+18x^5+135x^4+540x^3+1,22\cdot 10^{3}x^2+1,46\cdot 10^{3}x+729}\\ \,Zaehler =0 \\\\ 180x^3+1,02\cdot 10^{3}x^2+1,26\cdot 10^{3}x-540=0 \\\\ \text{Nullstelle für Polynmomdivision erraten:}-3\\ \,\small \begin{matrix} ( 180x^3&+1,02\cdot 10^{3}x^2&+1,26\cdot 10^{3}x&-540&):( x +3 )= 180x^2 +480x -180 \\ \,-( 180x^3&+540x^2) \\ \hline & 480x^2&+1,26\cdot 10^{3}x&-540&\\ &-( 480x^2&+1,44\cdot 10^{3}x) \\ \hline &&-180x&-540&\\ &&-(-180x&-540) \\ \hline &&& 0&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ 180x^{2}+480x-180 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-480 \pm\sqrt{480^{2}-4\cdot 180 \cdot \left(-180\right)}}{2\cdot180} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-480 \pm\sqrt{3,6\cdot 10^{5}}}{360} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-480 \pm600}{360} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-480 +600}{360} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-480 -600}{360} \\ x_{1}=\frac{1}{3} \qquad x_{2}=-3 \\ \underline{x_13=-3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_14=\frac{1}{3}; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_15=-3; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&\frac{1}{3}&< x\\ \hline f''(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]\frac{1}{3};\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;\frac{1}{3}[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt }}$\\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\*