$\begin{array}{l} \text{Gegeben:}\\ \text{Punkt: }A(a1/a2/a3) \\ \text{Ebene: } n1 x_1+n2 x_2+n3 x_3+c1=0 \\ \\ \text{Gesucht:} \\\text{Lagebeziehung Punkt - Ebene} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Punkt: }A(4/5/6) \\ \text{Ebene: } 7 x_1+7 x_2+8 x_3+9=0 \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt: }A(4/5/6) \\ \text{Ebene: } 7 x_1+7 x_2+8 x_3+9=0 \\ 7\cdot4 +7\cdot5 +8\cdot6+9=0 \\ 120=0 \\ \text{Punkt liegt nicht in der Ebene} \\ \text{Abstand des Punktes von der Ebene} \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ 7 x_1+7 x_2+8 x_3+9=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 7 \\ 7 \\ 8 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{7^2+7^2+8^2} \\ \left|\vec{n}\right| =12,7 \\ \text{ HNF:} \\ \dfrac{7 x_1+7 x_2+8 x_3+9}{-12,7}=0 \\ \text{Punkt in HNF:} \\ d=|\dfrac{7\cdot4 +7\cdot5 +8\cdot6+9}{-12,7 }|\\ d=|-9,43| \\ d=9,43 \\ \end{array}$